Mandelbrot

ghmesnil   15 mars 2016   Commentaires fermés sur Mandelbrot

Présentation

Un fractal est un objet géométrique qui se répète à l’infini. En zoomant sur une partie, on peut observer à nouveau les mêmes caractéristiques. Le chou romanesco est une illustration végétale d’un objet fractal.

romanesco

L’ensemble de Mandelbrot est la figure fractale la plus connue. Découvert avant la première guerre mondiale par Julia et Fatou, il put être représenté géométriquement par Mandelbrot grâce au développement des ordinateurs en1975. Cette simulation informatique s’effectue à partir des calculs des termes d’une suite très simple définie dans l’ensemble des complexes  :

 \begin{cases} z_0=0\\ z_{n+1}=z_n^2+c \end{cases}

Selon la valeur du paramètre c, cette suite diverge vers l’infini ou est bornée ( |z_n|<2).

mandelbrot

L’ensemble de Mandelbrot (en noir sur l’image) est l’ensemble des points du plan d’affixe c pour lesquels la suite est bornée.

Bien que cela n’ait aucune importance sur le plan mathématique, la plupart des programmes générant des fractales affichent les points en dehors de l’ensemble de Mandelbrot dans différentes couleurs. La couleur attribuée à un point n’appartenant pas à l’ensemble dépend du nombre d’itérations au bout desquelles la suite correspondante est déclarée divergente vers l’infini (par exemple quand le module est strictement supérieur à 2). Cela donne plusieurs zones concentriques, qui entourent l’ensemble de Mandelbrot. Les plus éloignées sont constituées des points c pour lesquels la suite (zn) tend « plus rapidement » vers l’infini. Ces différentes zones délimitent d’une manière plus ou moins précise l’ensemble de Mandelbrot.

Visualiser un film pour mieux comprendre
La partie qui nous intéresse ici se situe entre les minutes 6:20 et 12:56.

Objectif

Il s’agit de réaliser un logiciel permettant de représenter l’ensemble de Mandelbrot en coloriant les pixels de l’image comme expliqué ci-dessus. Une fonction zoom sera intégrée du logiciel.